As álgebras de Lie clássicas são álgebras de Lie de dimensão finita sobre um corpo que podem ser classificadas em quatro tipos
A
n
{\displaystyle A_{n}}
,
B
n
{\displaystyle B_{n}}
,
C
n
{\displaystyle C_{n}}
e
D
n
{\displaystyle D_{n}}
, onde, sendo
g l
( n )
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}
a álgebra de Lie linear geral e
I
n
{\displaystyle I_{n}}
a matriz identidade
n × n
{\displaystyle n\times n}
:
A
n
:=
s l
( n + 1 ) = { x ∈
g l
( n + 1 ) :
tr
( x ) = 0 }
{\displaystyle A_{n}:={\mathfrak {sl}}(n+1)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(n+1):{\text{tr}}(x)=0\}}
, a álgebra de Lie linear especial;
B
n
:=
o
( 2 n + 1 ) = { x ∈
g l
( 2 n + 1 ) : x +
x
T
= 0 }
{\displaystyle B_{n}:={\mathfrak {o}}(2n+1)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n+1):x+x^{T}=0\}}
, a álgebra de Lie ortogonal ímpar;
C
n
:=
s p
( 2 n ) = { x ∈
g l
( 2 n ) :
J
n
x +
x
T
J
n
= 0 ,
J
n
=
(
0
I
n
−
I
n
0
)
}
{\displaystyle C_{n}:={\mathfrak {sp}}(2n)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n):J_{n}x+x^{T}J_{n}=0,J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}\}}
, a álgebra de Lie simplética; e
D
n
:=
o
( 2 n ) = { x ∈
g l
( 2 n ) : x +
x
T
= 0 }
{\displaystyle D_{n}:={\mathfrak {o}}(2n)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n):x+x^{T}=0\}}
, a álgebra de Lie ortogonal par. Exceto pelos casos de baixa dimensão
D
1
=
s o
( 2 )
{\displaystyle D_{1}={\mathfrak {so}}(2)}
e
D
2
=
s o
( 4 )
{\displaystyle D_{2}={\mathfrak {so}}(4)}
, as álgebras de Lie clássicas são simples. A álgebra de Moyal é uma álgebra de Lie de dimensão infinita que contém todas as álgebras de Lie clássicas como subálgebras.
Ver também Álgebra de Lie simples Grupo clássico
Referências
