Em matemática, a coomologia de álgebra de Lie é uma teoria de coomologia para álgebras de Lie. Foi introduzida pela primeira vez em 1929 por Élie Cartan para estudar a topologia dos grupos de Lie e espaços homogêneos ao relacionar os métodos coomológicos de Georges de Rham às propriedades da álgebra de Lie. Mais tarde, foi estendida por Claude Chevalley e Samuel Eilenberg (1948) para coeficientes em um módulo de Lie arbitrário.
Motivação Se
G
{\displaystyle G}
é um grupo de Lie compacto e simplesmente conexo, então ele é determinado por sua álgebra de Lie, de modo que deveria ser possível calcular sua coomologia a partir da álgebra de Lie. Isso pode ser feito da seguinte forma. Sua coomologia é a coomologia de Rham do complexo de formas diferenciais em
G
{\displaystyle G}
. Usando um processo de cálculo de média, este complexo pode ser substituído pelo complexo de formas diferenciais invariantes à esquerda. As formas invariantes à esquerda, por sua vez, são determinadas por seus valores na identidade, de modo que o espaço de formas diferenciais invariantes à esquerda pode ser identificado com a álgebra exterior da álgebra de Lie, provido de uma diferencial adequada. A construção dessa diferencial em uma álgebra exterior faz sentido para qualquer álgebra de Lie, portanto, ela é usada para definir a coomologia da álgebra de Lie para todas as álgebras de Lie. Mais genericamente, utiliza-se uma construção semelhante para definir a coomologia da álgebra de Lie com coeficientes em um módulo. Se
G
{\displaystyle G}
é um grupo de Lie não compacto simplesmente conexo, a coomologia da álgebra de Lie da álgebra de Lie associada
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
não reproduz necessariamente a coomologia de de Rham de
G
{\displaystyle G}
. A razão para isso é que a passagem do complexo de todas as formas diferenciais para o complexo das formas diferenciais invariantes à esquerda usa um processo de cálculo de média que só faz sentido para grupos compactos.
Definição Seja
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
uma álgebra de Lie sobre um anel comutativo R com a álgebra envolvente universal
U
g
{\displaystyle U{\mathfrak {g}}}
, e seja M uma representação de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
(equivalentemente, um módulo
U
g
{\displaystyle U{\mathfrak {g}}}
). Considerando R como uma representação trivial de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
, definem-se os grupos de coomologia
H
n
(
g
; M ) :=
E x t
U
g
n
( R , M )
{\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}
(veja o Funtor Ext para a definição de Ext). Equivalentemente, estes são os funtores derivados à direita do funtor do submódulo invariante exato à esquerda
M ↦
M
g
:= { m ∈ M ∣ x m = 0
para todo
x ∈
g
} .
{\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ para todo }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}
Analogamente, pode-se definir a homologia da álgebra de Lie como
H
n
(
g
; M ) :=
T o r
n
U
g
( R , M )
{\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}
(veja o Funtor Tor para a definição de Tor), que é equivalente aos funtores derivados à esquerda do funtor de coinvariantes exato à direita
M ↦
M
g
:= M
/
g
M .
{\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}
Alguns resultados básicos importantes sobre a coomologia de álgebras de Lie incluem o lema de Whitehead, o teorema de Weyl e o teorema da decomposição de Levi.
Complexo de Chevalley-Eilenberg Seja
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
uma álgebra de Lie sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
, com uma ação à esquerda sobre o módulo
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
M
{\displaystyle M}
. Os elementos do complexo de Chevalley-Eilenberg
H o m
k
(
Λ
∙
g
, M )
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)}
são chamados de cocadeias (cochains) de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
para
M
{\displaystyle M}
. Uma
n
{\displaystyle n}
-cocadeia homogênea de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
para
M
{\displaystyle M}
é, portanto, uma função
k
{\displaystyle k}
-multilinear alternada
f :
Λ
n
g
→ M
{\displaystyle f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M}
. Quando
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
é finitamente gerada como um espaço vetorial, o complexo de Chevalley-Eilenberg é canonicamente isomorfo ao produto tensorial
M ⊗
Λ
∙
g
∗
{\displaystyle M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}
, onde
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
denota o espaço dual de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
. O colchete de Lie
[ ⋅ , ⋅ ] :
Λ
2
g
→
g
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}
em
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
induz uma aplicação transposta
d
g
( 1 )
:
g
∗
→
Λ
2
g
∗
{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}
por dualidade. O último é suficiente para definir uma derivação
d
g
{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}
do complexo de cocadeias de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
para
k
{\displaystyle k}
estendendo
d
g
( 1 )
{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}
de acordo com a regra de Leibniz graduada. Segue da Identidade de Jacobi que
d
g
{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}
satisfaz
d
g
2
= 0
{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{2}=0}
e é, de fato, uma diferencial. Neste cenário,
k
{\displaystyle k}
é visto como um módulo
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
trivial, enquanto
k ∼
Λ
0
g
∗
⊆
K e r
(
d
g
)
{\displaystyle k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})}
pode ser pensado como constantes. Em geral, denotemos por
γ ∈
H o m
(
g
, End M )
{\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\operatorname {End} M)}
a ação à esquerda de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
sobre
M
{\displaystyle M}
e a consideremos como uma aplicação
d
γ
( 0 )
: M → M ⊗
g
∗
{\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}}
. A diferencial de Chevalley-Eilenberg
d
{\displaystyle d}
é então a derivação única estendendo
d
γ
( 0 )
{\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}}
e
d
g
( 1 )
{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}
de acordo com a regra de Leibniz graduada, sendo a condição de nilpotência
d
2
= 0
{\displaystyle d^{2}=0}
decorrente do homomorfismo da álgebra de Lie de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
para
End M
{\displaystyle \operatorname {End} M}
e da identidade de Jacobi em
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
. Explicitamente, a diferencial da
n
{\displaystyle n}
-cocadeia
f
{\displaystyle f}
é a
( n + 1 )
{\displaystyle (n+1)}
-cocadeia
d f
{\displaystyle df}
dada por:
( d f )
(
x
1
, ... ,
x
n + 1
)
=
∑
i
( − 1
)
i + 1
x
i
f
(
x
1
, ... ,
x ^
i
, ... ,
x
n + 1
)
+
∑
i < j
( − 1
)
i + j
f
(
[
x
i
,
x
j
]
,
x
1
, ... ,
x ^
i
, ... ,
x ^
j
, ... ,
x
n + 1
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}}
onde o circunflexo significa omitir aquele argumento. Quando
G
{\displaystyle G}
é um grupo de Lie real com a álgebra de Lie
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
, o complexo de Chevalley-Eilenberg também pode ser canonicamente identificado com o espaço das formas invariantes à esquerda com valores em
M
{\displaystyle M}
, denotado por
Ω
∙
( G , M
)
G
{\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}}
. A diferencial de Chevalley-Eilenberg pode então ser pensada como uma restrição da derivada covariante no fibrado trivial
G × M → G
{\displaystyle G\times M\rightarrow G}
, equipada com a conexão equivariante
γ ~
∈
Ω
1
( G , End M )
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\operatorname {End} M)}
associada à ação à esquerda
γ ∈
H o m
(
g
, End M )
{\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\operatorname {End} M)}
de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
em
M
{\displaystyle M}
. No caso particular em que
M = k =
R
{\displaystyle M=k=\mathbb {R} }
está equipado com a ação trivial de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
, a diferencial de Chevalley-Eilenberg coincide com a restrição da diferencial de de Rham em
Ω
∙
( G )
{\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G)}
para o subespaço de formas diferenciais invariantes à esquerda.
Coomologia em dimensões pequenas O zero-ésimo grupo de coomologia é (por definição) os invariantes da álgebra de Lie agindo no módulo:
H
0
(
g
; M ) =
M
g
= { m ∈ M ∣ x m = 0
para todo
x ∈
g
} .
{\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ para todo }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}
O primeiro grupo de coomologia é o espaço
D e r
{\displaystyle \mathrm {Der} }
de derivações módulo o espaço
I d e r
{\displaystyle \mathrm {Ider} }
das derivações internas
H
1
(
g
; M ) =
D e r
(
g
, M )
/
I d e r
(
g
, M )
{\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,}
, onde uma derivação é um mapeamento
d
{\displaystyle d}
da álgebra de Lie para
M
{\displaystyle M}
tal que
d [ x , y ] = x d y − y d x
{\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}
e é chamada de interna se for dada por
d x = x a
{\displaystyle dx=xa~}
para algum
a
{\displaystyle a}
em
M
{\displaystyle M}
. O segundo grupo de coomologia
H
2
(
g
; M )
{\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}
é o espaço das classes de equivalência de extensões de álgebra de Lie
0 → M →
h
→
g
→ 0
{\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}
da álgebra de Lie pelo módulo
M
{\displaystyle M}
. Semelhantemente, qualquer elemento do grupo de coomologia
H
n + 1
(
g
; M )
{\displaystyle H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)}
fornece uma classe de equivalência de maneiras de estender a álgebra de Lie
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
para uma "
n
{\displaystyle n}
-álgebra de Lie" com
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
no grau zero e
M
{\displaystyle M}
no grau
n − 1
{\displaystyle n-1}
. Uma
n
{\displaystyle n}
-álgebra de Lie é uma álgebra de Lie homotópica com termos não nulos apenas nos graus 0 a
n − 1
{\displaystyle n-1}
.
Exemplos
Coomologia no módulo trivial Quando
M =
R
{\displaystyle M=\mathbb {R} }
, como mencionado anteriormente, o complexo de Chevalley-Eilenberg coincide com o complexo de de-Rham para um grupo de Lie compacto correspondente. Neste caso,
M
{\displaystyle M}
carrega a ação trivial de
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
, portanto
x a = 0
{\displaystyle xa=0}
para cada
x ∈
g
, a ∈ M
{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},a\in M}
.
O zero-ésimo grupo de coomologia é
M
{\displaystyle M}
. A primeira coomologia: dada uma derivação
D
{\displaystyle D}
,
x D y = 0
{\displaystyle xDy=0}
para todo
x
{\displaystyle x}
e
y
{\displaystyle y}
, de modo que as derivações satisfaçam
D ( [ x , y ] ) = 0
{\displaystyle D([x,y])=0}
para todos os comutadores; com isso, o ideal
[
g
,
g
]
{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}
está contido no núcleo de
D
{\displaystyle D}
. Se
[
g
,
g
] =
g
{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}
, como é o caso das álgebras de Lie simples, então
D ≡ 0
{\displaystyle D\equiv 0}
, de modo que o espaço de derivações é trivial, e a primeira coomologia também é trivial. Se
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
é abeliano, ou seja,
[
g
,
g
] = 0
{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=0}
, então qualquer funcional linear
D :
g
→ M
{\displaystyle D:{\mathfrak {g}}\rightarrow M}
é, de fato, uma derivação, e o conjunto de derivações internas é trivial, pois satisfazem
D x = x a = 0
{\displaystyle Dx=xa=0}
para qualquer
a ∈ M
{\displaystyle a\in M}
. Então o primeiro grupo de coomologia neste caso é
M
dim
g
{\displaystyle M^{{\text{dim}}{\mathfrak {g}}}}
. À luz da correspondência de de-Rham, isso demonstra a importância do pressuposto compacto, já que este é o primeiro grupo de coomologia do toro
n
{\displaystyle n}
-dimensional visto como um grupo abeliano, e
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
também pode ser visto como um grupo abeliano de dimensão
n
{\displaystyle n}
, mas
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
tem coomologia trivial. A segunda coomologia: O segundo grupo de coomologia é o espaço das classes de equivalência de extensões centrais
0 →
h
→
e
→
g
→ 0.
{\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0.}
Álgebras de Lie simples de dimensão finita só possuem extensões centrais triviais: uma prova é fornecida aqui.
Coomologia no módulo adjunto Quando
M =
g
{\displaystyle M={\mathfrak {g}}}
, a ação é a ação adjunta,
x ⋅ y = [ x , y ] =
ad
( x ) y
{\displaystyle x\cdot y=[x,y]={\text{ad}}(x)y}
.
O zero-ésimo grupo de coomologia é o centro
z
(
g
)
{\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}
A primeira coomologia: as derivações internas são dadas por
D x = x y = [ x , y ] = −
ad
( y ) x
{\displaystyle Dx=xy=[x,y]=-{\text{ad}}(y)x}
, de modo que elas são precisamente a imagem de
ad
:
g
→ End
g
.
{\displaystyle {\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} {\mathfrak {g}}.}
O primeiro grupo de coomologia é o espaço de derivações externas.
Ver também Formalismo BRST na física teórica. Coomologia de Gelfand-Fuks
Referências
