Na matemática, a função Z é uma função usada para estudar a função zeta de Riemann ao longo da linha crítica onde o argumento é meio. Ela também é chamada de função Z de Riemann-Siegel, função zeta de Riemann-Siegel, função de Hardy, função Z de Hardy e função zeta de Hardy. Ela pode ser definida em termos da função teta de Riemann-Siegel e da função zeta de Riemann por

Z ( t ) =

e

i θ ( t )

ζ

(

1 2

+ i t

)

.

{\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}

Segue da equação funcional da função zeta de Riemann que a função Z é real para valores reais de t. É uma função par e analítica real para valores reais. Segue do fato de que a função teta de Riemann-Siegel e a função zeta de Riemann são ambas holomorfas na faixa crítica, onde a parte imaginária de t está entre −1/2 e 1/2, que a função Z também é holomorfa na faixa crítica. Além disso, os zeros reais de Z(t) são precisamente os zeros da função zeta ao longo da linha crítica, e os zeros complexos na faixa crítica da função Z correspondem aos zeros fora da linha crítica da função zeta de Riemann em sua faixa crítica.

A fórmula de Riemann-Siegel O cálculo do valor de Z(t) para t real, e portanto da função zeta ao longo da linha crítica, é grandemente agilizado pela fórmula de Riemann-Siegel. Esta fórmula nos diz

Z ( t ) = 2

∑

n

2

< t

/

2 π

n

− 1

/

2

cos ⁡ ( θ ( t ) − t log ⁡ n ) + R ( t ) ,

{\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}

onde o termo de erro R(t) tem uma expressão assintótica complexa em termos da função

Ψ ( z ) =

cos ⁡ 2 π (

z

2

− z − 1

/

16 )

cos ⁡ 2 π z

{\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}

e suas derivadas. Se

u =

(

t

2 π

)

1

/

4

{\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}

,

N = ⌊

u

2

⌋

{\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }

e

p =

u

2

− N

{\displaystyle p=u^{2}-N}

então

R ( t ) ∼ ( − 1

)

N − 1

(

Ψ ( p )

u

− 1

−

1

96

π

2

Ψ

( 3 )

( p )

u

− 3

+ ⋯

)

{\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}

onde as reticências indicam que podemos continuar para termos de ordem superior e cada vez mais complexos. Outras séries eficientes para Z(t) são conhecidas, em particular várias usando a função gama incompleta. Se

Q ( a , z ) =

Γ ( a , z )

Γ ( a )

=

1

Γ ( a )

∫

z

∞

u

a − 1

e

− u

d u

{\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du}

então um exemplo especialmente elegante é

Z ( t ) = 2 R

(

e

i θ ( t )

(

∑

n = 1

∞

Q

(

s 2

, π i

n

2

)

−

π

s

/

2

e

π i s

/

4

s Γ

(

s 2

)

)

)

{\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}

Comportamento da função Z Do teorema da linha crítica, segue-se que a densidade dos zeros reais da função Z é

c

2 π

log ⁡

t

2 π

{\displaystyle {\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}}

para alguma constante c > 5/12. Assim, o número de zeros em um intervalo de um dado tamanho aumenta lentamente. Se a hipótese de Riemann for verdadeira, todos os zeros na faixa crítica são zeros reais, e a constante c é um. Também postula-se que todos esses zeros são zeros simples.

Um teorema Ômega Por causa dos zeros da função Z, ela exibe um comportamento oscilatório. Ela também cresce lentamente tanto em média quanto em seu valor de pico. Por exemplo, temos, mesmo sem a hipótese de Riemann, o teorema Ômega de que

Z ( t ) = Ω

(

exp ⁡

(

3 4

log ⁡ t

log ⁡ log ⁡ t

)

)

,

{\displaystyle Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right),}

onde a notação significa que

Z ( t )

{\displaystyle Z(t)}

dividido pela função dentro do Ω não tende a zero com o aumento de t.

Crescimento médio O crescimento médio da função Z também tem sido muito estudado. Podemos encontrar a média quadrática (abreviada como RMS, do inglês root mean square) a partir de

1 T

∫

0

T

Z ( t

)

2

d t ∼ log ⁡ T

{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}

ou

1 T

∫

T

2 T

Z ( t

)

2

d t ∼ log ⁡ T

{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}

o que nos diz que o tamanho RMS de Z(t) cresce como

log ⁡ t

{\displaystyle {\sqrt {\log t}}}

. Esta estimativa pode ser melhorada para

1 T

∫

0

T

Z ( t

)

2

d t = log ⁡ T + ( 2 γ − 2 log ⁡ ( 2 π ) − 1 ) + O (

T

− 15

/

22

)

{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})}

Se aumentarmos o expoente, obtemos um valor médio que depende mais dos valores de pico de Z. Para quartas potências, temos

1 T

∫

0

T

Z ( t

)

4

d t ∼

1

2

π

2

( log ⁡ T

)

4

{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}dt\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}}

do qual podemos concluir que a raiz quarta da média da quarta potência cresce como

1

2

1

/

4

π

log ⁡ t .

{\displaystyle {\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t.}

A hipótese de Lindelöf

Potências pares mais altas foram muito estudadas, mas sabe-se menos sobre o valor médio correspondente. Conjectura-se, e segue da hipótese de Riemann, que

1 T

∫

0

T

Z ( t

)

2 k

d t = o (

T

ε

)

{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\,dt=o(T^{\varepsilon })}

para todo ε positivo. Aqui a notação "o" pequeno significa que o lado esquerdo dividido pelo lado direito de fato converge para zero; em outras palavras, o "o" pequeno é a negação de Ω. Esta conjectura é chamada de hipótese de Lindelöf, e é mais fraca que a hipótese de Riemann. Ela é normalmente declarada em uma forma equivalente importante, que é

Z ( t ) = o (

t

ε

) ;

{\displaystyle Z(t)=o(t^{\varepsilon });}

em qualquer uma das formas, isso nos diz que a taxa de crescimento dos valores de pico não pode ser muito alta. O melhor limite conhecido para esta taxa de crescimento não é forte, dizendo-nos que qualquer

ε >

89 570

≈ 0,156

{\displaystyle \epsilon >{\frac {89}{570}}\approx 0{,}156}

é adequado. Seria surpreendente descobrir que a função Z crescesse tão rápido quanto isso. Littlewood provou que, sob a hipótese de Riemann,

Z ( t ) = o

(

exp ⁡

(

10 log ⁡ t

log ⁡ log ⁡ t

)

)

,

{\displaystyle Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right),}

e isso parece muito mais provável.

Referências

Edwards, H. M. (1974). Riemann's Zeta Function. Col: Pure and Applied Mathematics. 58. Nova Iorque-Londres: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Zbl 0315.10035 Ivić, Aleksandar (2013). The theory of Hardy's Z-function. Col: Cambridge Tracts in Mathematics. 196. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8. Zbl 1269.11075 Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Col: Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79001-8. Zbl 0983.41019 Ramachandra, K. (fevereiro de 1996). Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function. Col: Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research. 85. Berlim: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58437-4. Zbl 0845.11003 Titchmarsh, E. C. (1986) [1951]. Heath-Brown, D. R., ed. The Theory of the Riemann Zeta-Function 2a revisada ed. [S.l.]: Oxford University Press

Ligações externas Weisstein, Eric W. «Riemann-Siegel Functions». MathWorld (em inglês) Wolfram Research – Função Z de Riemann-Siegel (inclui plotagem e avaliação de funções)