Na matemática, um módulo livre é um módulo que tem uma base, isto é, um conjunto gerador que é linearmente independente. Todo espaço vetorial é um módulo livre, mas, se o anel dos coeficientes não for um anel de divisão (não for um corpo no caso comutativo), então existem módulos não livres. Dado qualquer conjunto
S
{\displaystyle S}
e um anel
R
{\displaystyle R}
, existe um
R
{\displaystyle R}
-módulo livre com base
S
{\displaystyle S}
, que é chamado de módulo livre sobre
S
{\displaystyle S}
ou módulo de combinações lineares formais sobre
R
{\displaystyle R}
dos elementos de
S
{\displaystyle S}
. Um grupo abeliano livre é precisamente um módulo livre sobre o anel
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
dos inteiros.
Definição Para um anel
R
{\displaystyle R}
e um
R
{\displaystyle R}
-módulo
M
{\displaystyle M}
, o conjunto
E ⊆ M
{\displaystyle E\subseteq M}
é uma base para
M
{\displaystyle M}
se:
E
{\displaystyle E}
é um conjunto gerador para
M
{\displaystyle M}
; ou seja, cada elemento de
M
{\displaystyle M}
é uma soma finita de elementos de
E
{\displaystyle E}
multiplicados por coeficientes em
R
{\displaystyle R}
; e
E
{\displaystyle E}
é linearmente independente: para todo conjunto
{
e
1
, ... ,
e
n
} ⊂ E
{\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}
de elementos distintos,
r
1
e
1
+
r
2
e
2
+ ⋯ +
r
n
e
n
=
0
M
{\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}
implica que
r
1
=
r
2
= ⋯ =
r
n
=
0
R
{\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}
(onde
0
M
{\displaystyle 0_{M}}
é o elemento neutro de
M
{\displaystyle M}
e
0
R
{\displaystyle 0_{R}}
é o elemento neutro de
R
{\displaystyle R}
). Um módulo livre é um módulo com uma base. Uma consequência imediata da segunda metade da definição é que os coeficientes na primeira metade são únicos para cada elemento de
M
{\displaystyle M}
. Se
R
{\displaystyle R}
tem número de base invariante, então, por definição, quaisquer duas bases têm a mesma cardinalidade. Por exemplo, anéis comutativos não nulos têm número de base invariante. A cardinalidade de qualquer (e, portanto, de toda) base é chamada de posto do módulo livre
M
{\displaystyle M}
. Se esta cardinalidade for finita, diz-se que o módulo livre é livre de posto finito, ou livre de posto
n
{\displaystyle n}
se for sabido que o posto é
n
{\displaystyle n}
.
Exemplos Seja
R
{\displaystyle R}
um anel.
R
{\displaystyle R}
é um módulo livre de posto um sobre si mesmo (seja como um módulo à esquerda ou à direita); qualquer elemento invertível (unidade) é uma base. Mais geralmente, se
R
{\displaystyle R}
for comutativo, um ideal não nulo
I
{\displaystyle I}
de
R
{\displaystyle R}
é livre se e somente se for um ideal principal gerado por um elemento que não é um divisor de zero, com o gerador sendo uma base. Sobre um domínio de ideais principais (ex.,
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
), um submódulo de um módulo livre é livre. Se
R
{\displaystyle R}
for comutativo, o anel de polinômios
R [ X ]
{\displaystyle R[X]}
na indeterminada
X
{\displaystyle X}
é um módulo livre com uma possível base
1 , X ,
X
2
, ...
{\displaystyle 1,X,X^{2},\dots }
Seja
A [ t ]
{\displaystyle A[t]}
um anel de polinômios sobre um anel comutativo
A
{\displaystyle A}
,
f
{\displaystyle f}
um polinômio mônico de grau
d
{\displaystyle d}
neste anel,
B = A [ t ]
/
( f )
{\displaystyle B=A[t]/(f)}
e
ξ
{\displaystyle \xi }
a imagem de
t
{\displaystyle t}
em
B
{\displaystyle B}
. Então
B
{\displaystyle B}
contém
A
{\displaystyle A}
como um subanel e é livre como um
A
{\displaystyle A}
-módulo com uma base
1 , ξ , ... ,
ξ
d − 1
{\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}
. Para qualquer número inteiro não negativo
n
{\displaystyle n}
,
R
n
= R × ⋯ × R
{\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}
, o produto cartesiano de
n
{\displaystyle n}
cópias de
R
{\displaystyle R}
como um
R
{\displaystyle R}
-módulo à esquerda, é livre. Se
R
{\displaystyle R}
tem número de base invariante, então o seu posto é
n
{\displaystyle n}
. Uma soma direta de módulos livres é livre, enquanto um produto cartesiano infinito de módulos livres geralmente não é livre (cf. o grupo de Baer-Specker). Um módulo finitamente gerado sobre um anel local comutativo é livre se e somente se for fielmente plano. Além disso, o teorema de Kaplansky afirma que um módulo projetivo sobre um anel local (possivelmente não comutativo) é livre. Às vezes, determinar se um módulo é livre ou não é indecidível no sentido da teoria dos conjuntos. Um exemplo famoso é o problema de Whitehead, que pergunta se um grupo de Whitehead é livre ou não. Como se constata, o problema é independente de ZFC.
Combinações lineares formais Dado um conjunto
E
{\displaystyle E}
e um anel
R
{\displaystyle R}
, existe um
R
{\displaystyle R}
-módulo livre que tem
E
{\displaystyle E}
como base: a saber, a soma direta de módulos de cópias de
R
{\displaystyle R}
indexadas por
E
{\displaystyle E}
R
( E )
=
⨁
e ∈ E
R .
{\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R.}
Explicitamente, é o submódulo do produto cartesiano
∏
E
R
{\displaystyle \prod _{E}R}
(sendo
R
{\displaystyle R}
visto, digamos, como um módulo à esquerda) que consiste nos elementos que têm apenas um número finito de componentes não nulas. Pode-se mergulhar
E
{\displaystyle E}
em
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
como um subconjunto identificando um elemento
e
{\displaystyle e}
com aquele de
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
cuja
e
{\displaystyle e}
-ésima componente é 1 (a unidade de
R
{\displaystyle R}
) e todas as outras componentes são zero. Então cada elemento de
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
pode ser escrito de forma única como
∑
e ∈ E
c
e
e ,
{\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}
onde apenas um número finito de
c
e
{\displaystyle c_{e}}
são não nulos. É chamado de uma combinação linear formal de elementos de
E
{\displaystyle E}
. Um argumento semelhante mostra que todo
R
{\displaystyle R}
-módulo livre à esquerda (resp. à direita) é isomorfo a uma soma direta de cópias de
R
{\displaystyle R}
como módulo à esquerda (resp. à direita).
Outra construção O módulo livre
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
também pode ser construído da seguinte maneira equivalente. Dado um anel
R
{\displaystyle R}
e um conjunto
E
{\displaystyle E}
, primeiro, como um conjunto, definimos
R
( E )
= { f : E → R ∣ f ( x ) = 0
para todos, exceto um número finito de
x ∈ E } .
{\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ para todos, exceto um número finito de }}x\in E\}.}
Nós o equipamos com uma estrutura de módulo à esquerda de forma que a adição é definida por: para
x
{\displaystyle x}
em
E
{\displaystyle E}
,
( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}
e a multiplicação escalar por: para
r
{\displaystyle r}
em
R
{\displaystyle R}
e
x
{\displaystyle x}
em
E
{\displaystyle E}
,
( r f ) ( x ) = r f ( x )
{\displaystyle (rf)(x)=rf(x)}
Agora, como uma função de valor em
R
{\displaystyle R}
sobre
E
{\displaystyle E}
, cada
f
{\displaystyle f}
em
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
pode ser escrita unicamente como
f =
∑
e ∈ E
c
e
δ
e
{\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}
onde
c
e
{\displaystyle c_{e}}
estão em
R
{\displaystyle R}
e apenas um número finito deles são não nulos, e
δ
e
{\displaystyle \delta _{e}}
é dado como
δ
e
( x ) =
{
1
R
se
x = e
0
R
se
x ≠ e
{\displaystyle \delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{se }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{se }}x\neq e\end{cases}}}
(esta é uma variante do delta de Kronecker). O exposto acima significa que o subconjunto
{
δ
e
∣ e ∈ E }
{\displaystyle \{\delta _{e}\mid e\in E\}}
de
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
é uma base de
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
. O mapeamento
e ↦
δ
e
{\displaystyle e\mapsto \delta _{e}}
é uma bijeção entre
E
{\displaystyle E}
e esta base. Através desta bijeção,
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
é um módulo livre com a base
E
{\displaystyle E}
.
Propriedade universal O mapeamento de inclusão
ι : E →
R
( E )
{\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}
definido acima é universal no seguinte sentido. Dada uma função arbitrária
f : E → N
{\displaystyle f:E\to N}
de um conjunto
E
{\displaystyle E}
para um
R
{\displaystyle R}
-módulo à esquerda
N
{\displaystyle N}
, existe um único homomorfismo de módulos
f ̄
:
R
( E )
→ N
{\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}
tal que
f =
f ̄
∘ ι
{\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }
; a saber,
f ̄
{\displaystyle {\overline {f}}}
é definido pela fórmula:
f ̄
(
∑
e ∈ E
r
e
e
)
=
∑
e ∈ E
r
e
f ( e )
{\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}
e diz-se que
f ̄
{\displaystyle {\overline {f}}}
é obtido estendendo
f
{\displaystyle f}
por linearidade. A unicidade significa que cada transformação
R
{\displaystyle R}
-linear
R
( E )
→ N
{\displaystyle R^{(E)}\to N}
é determinada de forma única pela sua restrição a
E
{\displaystyle E}
. Como é usual para propriedades universais, isso define
R
( E )
{\displaystyle R^{(E)}}
a menos de um isomorfismo canônico. Além disso, a formação de
ι : E →
R
( E )
{\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}
para cada conjunto
E
{\displaystyle E}
determina um functor
R
( − )
:
Set
→ R
-
M o d
,
E ↦
R
( E )
{\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}
, da categoria dos conjuntos para a categoria dos
R
{\displaystyle R}
-módulos à esquerda. Ele é chamado de functor livre e satisfaz uma relação natural: para cada conjunto
E
{\displaystyle E}
e um módulo à esquerda
N
{\displaystyle N}
,
Hom
Set
( E , U ( N ) ) ≃
Hom
R
(
R
( E )
, N ) ,
f ↦
f ̄
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}
onde
U : R
-
M o d
→
Set
{\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}
é o functor esquecido, o que significa que
R
( − )
{\displaystyle R^{(-)}}
é um functor adjunto à esquerda do functor esquecido.
Generalizações Muitas afirmações verdadeiras para módulos livres estendem-se a certas classes maiores de módulos. Módulos projetivos são somandos diretos de módulos livres. Módulos planos são definidos pela propriedade de que o produto tensorial com eles preserva sequências exatas. Módulos livres de torção formam uma classe ainda mais ampla. Para um módulo finitamente gerado sobre um DIP (como
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
), as propriedades livre, projetivo, plano e livre de torção são equivalentes.
Veja anel local, anel perfeito e anel de Dedekind.
Referências
Bibliografia Adamson, Iain T. (1972). Elementary Rings and Modules. Col: University Mathematical Texts. [S.l.]: Oliver and Boyd. pp. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993 Keown, R. (1975). An Introduction to Group Representation Theory. Col: Mathematics in science and engineering. 116. [S.l.]: Academic Press. ISBN 978-0-12-404250-6. MR 0387387 Govorov, V. E. «Free module». Encyclopedia of Mathematics (em inglês) Matsumura, Hideyuki (1986). Commutative ring theory. Col: Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 8. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. MR 0879273. Zbl 0603.13001
