Em matemática, o teorema do ponto fixo de Lefschetz é uma fórmula que conta os pontos fixos de uma aplicação contínua de um espaço topológico compacto X em si mesmo por meio de traços das aplicações induzidas nos grupos de homologia de X. Recebe o nome de Solomon Lefschetz, que o enunciou pela primeira vez em 1926. A contagem está sujeita a uma multiplicidade atribuída a cada ponto fixo, chamada índice de ponto fixo. Uma versão fraca do teorema já é suficiente para mostrar que uma aplicação sem qualquer ponto fixo deve possuir propriedades topológicas bastante especiais (como uma rotação da circunferência).
Enunciado formal Para um enunciado formal do teorema, seja
f : X → X
{\displaystyle f\colon X\rightarrow X}
uma aplicação contínua de um espaço triangulável compacto X em si mesmo. Define-se o número de Lefschetz
Λ
f
{\displaystyle \Lambda _{f}}
de
f
{\displaystyle f}
por
Λ
f
:=
∑
k ≥ 0
( − 1
)
k
t r
(
H
k
( f ,
Q
)
)
,
{\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\,\mathrm {tr} \!{\bigl (}H_{k}(f,\mathbb {Q} ){\bigr )},}
a soma alternada (finita) dos traços das aplicações lineares induzidas por
f
{\displaystyle f}
em
H
k
( X ,
Q
)
{\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}
, os grupos de homologia singular de X com coeficientes racionais. Uma versão simples do teorema do ponto fixo de Lefschetz afirma: se
Λ
f
≠ 0
{\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0}
então
f
{\displaystyle f}
possui pelo menos um ponto fixo, isto é, existe ao menos um
x ∈ X
{\displaystyle x\in X}
tal que
f ( x ) = x
{\displaystyle f(x)=x}
. De fato, como o número de Lefschetz foi definido no nível da homologia, a conclusão pode ser estendida para afirmar que qualquer aplicação homotópica a
f
{\displaystyle f}
também possui um ponto fixo. Observe, contudo, que a recíproca não é verdadeira em geral:
Λ
f
{\displaystyle \Lambda _{f}}
pode ser zero mesmo quando
f
{\displaystyle f}
possui pontos fixos, como acontece com a aplicação identidade sobre esferas de dimensão ímpar.
Esboço da demonstração Primeiramente, aplicando o teorema da aproximação simplicial, mostra-se que, se
f
{\displaystyle f}
não possui pontos fixos, então (possivelmente após subdividir
X
{\displaystyle X}
)
f
{\displaystyle f}
é homotópica a uma aplicação simplicial sem pontos fixos (isto é, envia cada simpleso a um simpleso diferente). Isso implica que os valores diagonais das matrizes das aplicações lineares induzidas no complexo de cadeias simpliciais de
X
{\displaystyle X}
devem ser todos nulos. Em seguida, observa-se que, em geral, o número de Lefschetz também pode ser calculado como a soma alternada dos traços das matrizes dessas aplicações lineares (pelo mesmo tipo de razão pela qual a característica de Euler admite uma definição em termos de grupos de homologia; veja abaixo). No caso particular de uma aplicação simplicial sem pontos fixos, todos os valores diagonais são zero e, portanto, todos os traços são zero.
Teorema de Lefschetz–Hopf Uma forma mais forte do teorema, também conhecida como teorema de Lefschetz–Hopf, afirma que, se
f
{\displaystyle f}
possui apenas um número finito de pontos fixos, então
∑
x ∈
F i x
( f )
i n d
( f , x ) =
Λ
f
,
{\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}
onde
F i x
( f )
{\displaystyle \mathrm {Fix} (f)}
é o conjunto dos pontos fixos de
f
{\displaystyle f}
, e
i n d
( f , x )
{\displaystyle \mathrm {ind} (f,x)}
denota o índice do ponto fixo
x
{\displaystyle x}
. A partir desse teorema pode-se deduzir o teorema de Poincaré–Hopf para campos vetoriais da seguinte forma. Qualquer campo vetorial sobre uma variedade compacta induz naturalmente um fluxo
φ ( x , t )
{\displaystyle \varphi (x,t)}
, e para todo
t
{\displaystyle t}
a aplicação
φ ( x , t )
{\displaystyle \varphi (x,t)}
é homotópica à identidade (tendo, portanto, o mesmo número de Lefschetz); além disso, para
t
{\displaystyle t}
suficientemente pequeno, os pontos fixos do fluxo e os zeros do campo vetorial têm os mesmos índices.
Relação com a característica de Euler O número de Lefschetz da aplicação identidade sobre um complexo CW finito pode ser facilmente calculado observando que cada
f
∗
{\displaystyle f_{\ast }}
pode ser visto como uma matriz identidade, de modo que cada termo do traço é simplesmente a dimensão do grupo de homologia correspondente. Assim, o número de Lefschetz da aplicação identidade é igual à soma alternada dos números de Betti do espaço, que por sua vez é igual à característica de Euler
χ ( X )
{\displaystyle \chi (X)}
. Portanto,
Λ
i d
= χ ( X ) .
{\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).}
Relação com o teorema do ponto fixo de Brouwer O teorema do ponto fixo de Lefschetz generaliza o teorema do ponto fixo de Brouwer, que afirma que toda aplicação contínua do disco unitário fechado de dimensão
n
{\displaystyle n}
,
D
n
{\displaystyle D^{n}}
, em si mesmo deve possuir ao menos um ponto fixo. Isso pode ser visto da seguinte maneira:
D
n
{\displaystyle D^{n}}
é compacto e triangulável, todos os seus grupos de homologia, exceto
H
0
{\displaystyle H_{0}}
, são nulos, e toda aplicação contínua
f :
D
n
→
D
n
{\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}
induz a aplicação identidade
f
∗
:
H
0
(
D
n
,
Q
) →
H
0
(
D
n
,
Q
)
{\displaystyle f_{\ast }\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}
, cujo traço é igual a 1; isso implica que
Λ
f
{\displaystyle \Lambda _{f}}
é não nulo para qualquer
f :
D
n
→
D
n
{\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}
.
Contexto histórico Lefschetz apresentou seu teorema do ponto fixo em 1926. O foco de Lefschetz não estava em pontos fixos de aplicações, mas sim no que hoje são chamados pontos de coincidência de aplicações. Dadas duas aplicações
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
de uma variedade orientável
X
{\displaystyle X}
em uma variedade orientável
Y
{\displaystyle Y}
da mesma dimensão, o número de coincidência de Lefschetz de
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
é definido por
Λ
f , g
= ∑ ( − 1
)
k
t r
(
D
X
∘
g
∗
∘
D
Y
− 1
∘
f
∗
)
,
{\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\,\mathrm {tr} \!{\bigl (}D_{X}\circ g^{\ast }\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{\ast }{\bigr )},}
onde
f
∗
{\displaystyle f_{\ast }}
é como acima,
g
∗
{\displaystyle g^{\ast }}
é o homomorfismo induzido por
g
{\displaystyle g}
nos grupos de cohomologia com coeficientes racionais, e
D
X
{\displaystyle D_{X}}
e
D
Y
{\displaystyle D_{Y}}
são os isomorfismos de dualidade de Poincaré para
X
{\displaystyle X}
e
Y
{\displaystyle Y}
, respectivamente. Lefschetz provou que, se o número de coincidência é não nulo, então
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
possuem um ponto de coincidência. Ele observou em seu artigo que, tomando
X = Y
{\displaystyle X=Y}
e tomando
g
{\displaystyle g}
como a aplicação identidade, obtém-se um resultado mais simples, hoje conhecido como o teorema do ponto fixo.
Frobenius Seja
X
{\displaystyle X}
uma variedade definida sobre o corpo finito
k
{\displaystyle k}
com
q
{\displaystyle q}
elementos e seja
X ̄
{\displaystyle {\bar {X}}}
a mudança de base de
X
{\displaystyle X}
para o fecho algébrico de
k
{\displaystyle k}
. O endomorfismo de Frobenius de
X ̄
{\displaystyle {\bar {X}}}
(frequentemente o Frobenius geométrico, ou simplesmente Frobenius), denotado por
F
q
{\displaystyle F_{q}}
, envia um ponto de coordenadas
x
1
, ... ,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
ao ponto de coordenadas
x
1
q
, ... ,
x
n
q
{\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}
. Assim, os pontos fixos de
F
q
{\displaystyle F_{q}}
são exatamente os pontos de
X
{\displaystyle X}
com coordenadas em
k
{\displaystyle k}
; o conjunto desses pontos é denotado por
X ( k )
{\displaystyle X(k)}
. A fórmula do traço de Lefschetz vale nesse contexto e é dada por:
# X ( k ) =
∑
i
( − 1
)
i
t r
(
F
q
∗
∣
H
c
i
(
X ̄
,
Q
l
)
)
.
{\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\,\mathrm {tr} \!{\bigl (}F_{q}^{\ast }\mid H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell }){\bigr )}.}
Essa fórmula envolve o traço do Frobenius na cohomologia étale com suportes compactos de
X ̄
{\displaystyle {\bar {X}}}
, com valores no corpo dos números
l
{\displaystyle \ell }
-ádicos, onde
l
{\displaystyle \ell }
é um primo coprimo com
q
{\displaystyle q}
. Se
X
{\displaystyle X}
é lisa e equidimensional, essa fórmula pode ser reescrita em termos do Frobenius aritmético
Φ
q
{\displaystyle \Phi _{q}}
, que atua como o inverso de
F
q
{\displaystyle F_{q}}
na cohomologia:
# X ( k ) =
q
dim X
∑
i
( − 1
)
i
t r
(
(
Φ
q
− 1
)
∗
∣
H
i
(
X ̄
,
Q
l
)
)
.
{\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\,\mathrm {tr} \!{\bigl (}(\Phi _{q}^{-1})^{\ast }\mid H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell }){\bigr )}.}
Essa fórmula envolve a cohomologia usual, em vez da cohomologia com suportes compactos. A fórmula do traço de Lefschetz também pode ser generalizada para pilhas algébricas sobre corpos finitos.
Ver também Teorema do ponto fixo Função zeta de Lefschetz Fórmula do ponto fixo de Lefschetz holomorfa
Referências
